Was ist die Duration?
Die modifizierte Duration schätzt, wie stark der Kurs einer Anleihe auf eine kleine Änderung ihrer Rendite reagiert. Sie beschreibt die lokale Zinssensitivität, keine sichere Wertentwicklung.
Die Macaulay-Duration ist die durchschnittliche Wartezeit bis zu den Zahlungen einer Anleihe. Die Gewichte entsprechen den Barwerten der einzelnen Zahlungen, geteilt durch den Anleihepreis einschließlich Stückzinsen. Die modifizierte Duration beschreibt dagegen die relative Preisänderung bei einer kleinen Änderung der Rendite auf Verfall. Bei m Zinsperioden pro Jahr gilt: modifizierte Duration = Macaulay-Duration / (1 + y/m), mit der jährlichen Rendite y als Dezimalzahl. Die Cashflows werden dabei als fest angenommen.
× Zinsänderung in Prozentpunkten
Wie funktioniert die Duration?
Der Preis einer festverzinslichen Anleihe ist die Summe ihrer abgezinsten Zahlungen. Bei gleicher Rendite und Restlaufzeit erhöht ein kleinerer positiver Coupon die Duration. Eine längere Laufzeit erhöht sie typischerweise ebenfalls, ist aber ohne weitere Annahmen keine Garantie für einen durchgehend steigenden Wert. Bei einer Nullkuponanleihe entspricht die Macaulay-Duration exakt der Restlaufzeit.
Gerundete Beispiele für die modifizierte Duration bei 4 % Rendite, jährlicher Verzinsung und Bewertung direkt nach einem Zahlungstermin:
kaum Zinsrisiko
4 % Coupon
4 % Coupon
höher als beim Couponpapier
Die Steigung der Preis-Rendite-Kurve ist die Preisableitung dP/dy. Die modifizierte Duration ist ihr negatives, durch den Preis geteiltes Gegenstück: D = −(dP/dy)/P.
Die Grafik zeigt schematisch eine Anleihe mit festen positiven Zahlungen. Ihre Preis-Rendite-Kurve liegt über der Tangente. Bei positiver Konvexität unterschätzt die lineare Näherung den Gewinn bei fallender Rendite und überschätzt den Verlust bei steigender Rendite. Für kündbare Anleihen gilt diese Aussage nicht uneingeschränkt.
Praxisbeispiel: die Duration 7
Ein Anleihenportfolio mit festen Cashflows weist eine modifizierte Duration von 7 aus. Steigen die Renditen aller Positionen gleichzeitig um einen Prozentpunkt, etwa von 4 % auf 5 %, beträgt der geschätzte Kursverlust 7 %. Bei 0,5 Prozentpunkten sind es etwa 3,5 %. Bei einem Rückgang um einen Prozentpunkt lautet die lineare Schätzung +7 %. Positive Konvexität erhöht den modellierten Gewinn. Die Rechnung hält Zeitablauf, Cashflows und andere Risikofaktoren unverändert; bei großen Bewegungen wird sie ungenauer.
Dieselbe Rechnung liefert den DV01, den Dollarwert eines Basispunkts: Bei 100.000 US-Dollar Marktwert einschließlich Stückzinsen und Duration 7 sind das 100.000 × 7 × 0,0001 = 70 US-Dollar je Basispunkt. Profis steuern ihr Zinsrisiko über diese Größe, weil sie Positionen aller Laufzeiten vergleichbar macht.
Kurze Duration
- Geringe Kursschwankung bei Zinsänderungen
- Geringe Duration schließt Kreditrisiken nicht aus
- Wegen geringer Zinssensitivität häufig im Cash Management eingesetzt
Lange Duration
- Starke Kursreaktion in beide Richtungen
- Großer Hebel auf fallende Zinsen
- Gewinnt bei Renditerückgängen und verliert bei Renditeanstiegen; die Zinsstrukturkurve verbindet Zinserwartungen und Laufzeitprämien
Bei einer Couponanleihe mit positiven Zahlungen liegt die Macaulay-Duration unter der Restlaufzeit, weil ein Teil des Geldes früher zurückfließt. Bei einem Zerobond stimmen beide Größen überein. Für die Kurssensitivität zählt die modifizierte Duration: Bei 30 Jahren Restlaufzeit, 4 % Rendite und jährlicher Verzinsung beträgt sie 30 / 1,04 = 28,85. Das Gleichsetzen von Macaulay-Duration und Restlaufzeit unterschätzt bei einem Zerobond nichts.
Die Brücke zum Optionshandel
Delta und Duration beschreiben beide eine lokale Sensitivität erster Ordnung. Die modifizierte Duration enthält aber zusätzlich eine Normierung durch den Anleihepreis und ein Minuszeichen. Auch die Anleihen-Konvexität ist normiert: C = (d²P/dy²)/P. Sie entspricht deshalb nicht einfach der Änderung der Duration. Bei dieser Definition gilt dD/dy = D² − C.
Kernaussage
Eine modifizierte Duration von 7 bedeutet näherungsweise 7 % Kursverlust je Prozentpunkt Renditeanstieg. Die Macaulay-Duration beschreibt dagegen die zeitliche Verteilung der Zahlungen. Für größere Renditebewegungen ergänzt die Konvexität die lineare Schätzung; bei veränderlichen Cashflows sind passende Szenariomaße nötig.
