Was ist Konvexität bei Anleihen?
Die Zinsen bewegen sich um einen Prozentpunkt, einmal nach unten, einmal nach oben. Bei einer festverzinslichen Staatsanleihe ohne Kündigungsrecht und mit unveränderten Cashflows ist der Gewinn im ersten Fall größer als der Verlust im zweiten. Diese eingebaute Asymmetrie heißt Konvexität, und sie ist einer der stillen strukturellen Vorteile des Anleihehalters.
Die Beziehung zwischen Anleihepreis und Rendite ist bei festen positiven Cashflows gekrümmt. Die modifizierte Duration ist die negative erste Preisableitung, geteilt durch den Preis. Die Konvexität ist die zweite Preisableitung, ebenfalls geteilt durch den Preis. Bei P als Preis und y als Rendite gilt C = (d²P/dy²)/P. Die lineare Duration-Näherung wird für größere Renditebewegungen um einen quadratischen Term ergänzt.
Praxisbeispiel: die Asymmetrie in Zahlen
Ein langlaufender Zerobond zeigt den Effekt besonders deutlich. Eine 30-jährige Nullkupon-Anleihe mit Nennwert 100, gekauft bei 4 % Rendite, kostet 100 / 1,04³⁰ = 30,83. Nun bewegt sich die Rendite um jeweils einen Prozentpunkt:
| Rendite | Preis | Veränderung |
|---|---|---|
| 3 % | 41,20 | +33,6 % |
| 4 % (Kauf) | 30,83 | Ausgangspunkt |
| 5 % | 23,14 | −25,0 % |
Dieselbe Zinsbewegung bringt nach unten 33,6 % Gewinn und kostet nach oben nur 25,0 %. Das ist positive Konvexität, in Zahlen nachgerechnet. Eine lineare Welt hätte beide Beträge gleich groß gemacht.
Wann ist die Konvexität am größten?
Im Beispiel ist die hohe Konvexität mit hoher Duration verbunden: Der Zerobond reagiert stark auf Renditerückgänge und Renditeanstiege. Die Aussage ist kein Vergleich aller denkbaren Anleihen oder Derivate. Laufzeit, Rendite, Cashflows und Preisnormierung müssen beim Vergleich übereinstimmen.
Abgrenzung zur Options-Konvexität
Auch Optionen haben Konvexität, gemessen gegenüber dem Basiswertkurs. Bei Anleihen ist die Rendite der Risikofaktor. Diese Größen haben unterschiedliche Einheiten und sind nicht direkt vergleichbar. Konvexität ist eine Eigenschaft der Preisfunktion; eine feste tägliche Gebühr lässt sich daraus nicht ableiten. Marktpreise berücksichtigen Cashflows, Risiken und Nachfrage gemeinsam.
Nicht jedes Anleiheprodukt ist konvex zugunsten des Halters. Hypothekenbesicherte Wertpapiere (MBS) und kündbare Anleihen können in bestimmten Renditebereichen negative Konvexität aufweisen: Fallen die Zinsen, wird vorzeitig zurückgezahlt oder gekündigt, und der Kursgewinn wird gekappt. Der Halter trägt dann die spiegelverkehrte Asymmetrie: begrenzter Gewinn, voller Verlust. Dafür verlangt der Markt eine höhere Rendite.
Kernaussage
Die Preis-Rendite-Kurve einer Staatsanleihe ist gekrümmt: Bei fallenden Renditen wächst der Gewinn überproportional, bei steigenden wird der Verlust gebremst. Lange Laufzeit und kleiner Coupon verstärken den Effekt unter vergleichbaren Annahmen typischerweise. Die Duration allein unterschätzt deshalb große Gewinne und überzeichnet große Verluste; beide bleiben Näherungsmaße und erfassen nicht sämtliche Kurven-, Options- oder Kreditrisiken.
