Was ist Konvexität?
Konvexität beschreibt die Krümmung einer Preisfunktion. Bei einer gewöhnlichen gekauften Call- oder Put-Option ist der Preis vor dem Verfall im Black-Scholes-Modell bei festen übrigen Parametern konvex im Kurs des Basiswerts. Das Maß dafür ist Gamma, die zweite partielle Ableitung des Optionspreises nach dem Basiswertkurs.
Positives Gamma bedeutet: Gegenüber der lokalen linearen Delta-Näherung verbessert die Krümmung den Wertbeitrag einer Kursbewegung in beide Richtungen. Daraus folgt kein Gewinn bei jeder Bewegung. Die Richtung des Gesamtgewinns hängt unter anderem vom Delta und den übrigen Preisfaktoren ab.
Wie wirkt die Krümmung?
Das Schema zeigt einen Long Call und die spiegelbildliche Short-Position vor dem Verfall. Beim Long Call beschleunigen sich Gewinne bei steigendem Kurs; Verluste bei fallendem Kurs werden gebremst. Ein Long Put ist ebenfalls konvex, hat aber ein negatives Delta. Seine Gewinnrichtung ist deshalb anders. Am Verfall ist das Auszahlungsprofil gewöhnlicher Optionen stückweise linear und am Strike geknickt.
+ ½ × Gamma × (Kursänderung)²
Gamma misst die Krümmung, keine sichere Rendite. Bei einer deltaneutralen Position entfällt nur der lineare Kursbeitrag am Ausgangspunkt. Zeitablauf, IV-Bewegungen und Handelskosten bleiben wirksam.
Gamma und Theta
Long-Optionen besitzen typischerweise positives Gamma und negatives Theta. Die Verknüpfung hängt jedoch von Zinsen, Dividenden und Modellannahmen ab. Im Black-Scholes-Modell mit Zins r und kontinuierlicher Dividendenrendite q gilt:
+ (r − q) × S × Delta − r × V = 0
S ist der Basiswertkurs, V der Optionspreis. Erst bei r = q = 0 vereinfacht sich die Beziehung zu Theta = −½ × σ² × S² × Gamma. Ein tägliches Theta muss zuvor auf dieselbe Zeiteinheit umgerechnet werden. Schon ein tief im Geld liegender europäischer Put kann bei positiven Zinsen positives Theta und positives Gamma zugleich haben.
Vega und Restlaufzeit
Vega misst die Reaktion auf IV-Änderungen und ist kein ungewichteter Durchschnitt des Gamma. Für europäische Standardoptionen im Black-Scholes-Modell gilt Vega je Änderung der Volatilität um 1,00 = Gamma × S² × σ × T. Für Vega je IV-Prozentpunkt wird durch 100 geteilt. T ist die Restlaufzeit in Jahren.
Bei positiver, fester Volatilität konzentriert sich Gamma kurz vor dem Verfall am Strike. Im Modell wächst es für S = K bei T → 0 ohne Grenze. Abseits des Strikes geht es gegen null. Am Strike ist die Ableitung des Auszahlungsprofils selbst nicht definiert. Diese Grenze ist für Pin-Risiko relevant.
Anleihen-Konvexität beschreibt die Krümmung des Anleihepreises gegenüber der Rendite. Der Risikofaktor und die Normierung sind andere als beim Options-Gamma; die Zahlen sind nicht direkt vergleichbar.
Kernaussage
Positives Gamma verbessert den lokalen Kursbeitrag gegenüber einer linearen Delta-Näherung. Ob daraus ein Gewinn entsteht, entscheidet die gesamte Position einschließlich Zeitablauf, Volatilität, Finanzierung und Kosten.
